分形与分解的差异  

本世纪以来，随着人类对事物本质的深入探索，线性关系考察世界的单一思维方式的局限性日益暴露出来。人们逐渐认识到，非线性关系才是系统各层次和各部分之间普遍存在的关系,而且这种关系是不可还原的。  

所谓还原论，就是相信世界各部分、各层次的运动规律可以解释另一部分或层次的运动规律。根据还原的两种形式，还原论可分为机械决定论的还原论和统计决定论的还原论：如果是把整体、高层次的运动规律还原为部分、低层次的运动规律，则为机械决定论的还原；相反则为统计决定论的还原论；还原论认为，整体的规律总是可以通过复杂的计算而恢复为部分的规律，有些事物被称为复杂性事物，仅仅是因为组成这些事物的部分数目太多，我们没有足够的数据和能力处理而采用统计方法求出统计平均的结果，可见，还原论本质是决定论；还原论不承认世界的复杂性本质，按还原论的观点，只要有足够的数据，随着人的认识能力的提高，世界运动的规律最终可还原为若干条简单性的定律，真正的复杂性几乎是不存在的。  

在分形学中，不可还原性最突出的表现为自相似性，即任意小的部分都与整体相似，一个分形就是由与整体的某种方式相似的各个部分所组成的客体。这种曾被认为是“病态”的分形几何，看起来极不规则，实际上真正地描述了自然界，线性的欧氏几何只是一种理想化的模型。帕特兰德通过研究认为，地表面的自然景物中，92%以上具有分形特征。[1][1]在分形的动力学上，系统各层次间的非线性关系表现为“折叠”式的操作，如对非线性方程的迭代等。动力学的这种关系导致了混沌，混沌表现为无规则的游走性行为。混沌是目前最复杂的运动机制，科学研究不断证实，混沌是比一般有序更普遍的现象。  

分形带来了新的世界观：自然界中物质运动的许多形式（如流体的湍流）都是分子以上水平的质点基本运动组合而成，这些基本运动可能是确定的，但它们的组合运动形式却往往是不可逆的，有时甚至呈现出一定的随机性和条件性；作为跨层次变化结果的事物的具体形式和方向是不可预测的；组合运动的规律不一定能由基本运动的规律来说明。传统科学依据简单性方式描绘出来的美与和谐的世界蓝图只能理解为系统演化过程中暂时的一幕，即使是简单的生成规律也可产生无法确定的运动现象。世界是变化和复杂的。  

分形与分解间思维方式的差异，不仅体现在考察事物的侧重点的转变，而且更加意味深长的是考察事物的方法，但它与前者不矛盾，并不能代替分解，只是对它的补充、发展和超越。例如，生物有机化学的基本任务之一是仿效生化过程并将酶（由生物体产生的具有催化作用的蛋白质）模型化，发展新的非生物的催化剂—人工酶，它的思想和出发点与分形理论一致。分形理论讨论的是局部与整体的关系，并要求局部与整体相似，而仿酶的前提就是要求酶模型的功能与生物大分子酶相似，因此一个优良的酶模型应当具有酶的主要特征，换言之，它应是一个生成元，生成元是分形整体的缩影，它不但具有与整体大体相似的形态和功能，而且可以演化出整体。分形元是由于解决任务的需要而划分出来的整体的部分，它是以特殊形式保持着整体属性的。分形以整体性方式划分出的分形元具有整体与部分的两重性，它是整体的部分，同时本身又具有独立性。由此可见，分形与还原虽有共同之处，也是一种还原，不过这种还原不是把对象还原为粒子的积聚，而是系统的行为。还原论试图寻找共同具有的物质实体（如原子），把它作为差异的共同基础；分形则把对象还原为系统、组织结构方面相同的东西，作为共同特征，重复出现的构型是基于一个同一主旋律而产生出来的多种多样的“变奏”。还原论在还原时排除了每种事物本质的东西，分形论却抓住功能、结构、组织性等本征属性，注意事物集合体的构成及其关系。分形正是把人们的视线从实物转移到相互作用。  

                      分形论与系统论形成互补  

系统论整体数学模型可以用下列联立微分方程来描述：假设元素集P中某元素Pi (i=1、2、3¼n)的某个测度为Qi，对于有限数目的元素和最简单的情况，这些测度有如下形式：  

       dQ1/dt=f1(Q1 , Q2 , ¼¼ Qn)  

       dQ2/dt=f2(Q1 , Q2 , ¼¼ Qn)  

       ------------------------------------  

       dQn/dt=fn(Q1 , Q2 , ¼¼ Qn)  

因此任何测度Qi的变化都是所有从Q1到Qn的Q函数，任一元素Qi的变化都将导致所有其它元素及整个系统发生变化。系统的整体性可由如上方程的泰勒级数展开很明显地得到表现：  

       dQ1/dt=a11Q1+a12Q2+ ¼¼ +a1nQn+a111Q12+ ¼¼   

       dQ2/dt=a21Q1+a22Q2+ ¼¼ +a2nQn+a211Q12+ ¼¼  

      ---------------------------------------------------------------    

根据如上方程，整体大于孤立部分的总和，整体的性质和规律只存在其组成要素的相互联系、相互作用中。整体具有其组成部分在孤立状态时所没有的新性质，从而揭示了宏观的整体规律。  

分形集合可用如下不等式定义：Df³Dt。（Df为豪道夫维数，Dt为拓扑维数）按集合论的语言，若一有界集合，包含N个不相重叠的的子集，当其放大或缩小r倍后，仍与原集合重合，则称为自相似集合；当放大或缩小的倍数r不是一个常数，而必须是r（r1,r2,r3¼）的各种倍数才能与原集合重合时，称为自仿射集合。无论是自相似还是自仿射，r作为表征局部与整体相似的系数（相似比），都揭示了整体与部分的内在联系，找到了从部分过渡到整体的媒介和桥梁，说明了部分与整体之间的信息“同构”。分形维数  

                 q=-¥ ¼¼ -1 , 0 , 1 ¼¼ + ¼¼ + ¥                                                                                                 

（式中Pi是覆盖几率，当用边长为e的小盒子去覆盖分形结构时，Pi是分形结构中某点落入小盒的几率。当q取不同值时，Dq表示不同分维。）[2][2]表明了分形内部任何一个相对独立的部分，在一定程度上都应是整体的再现和相对缩影（分形元），人们可以通过认识部分来认识整体，但是分形元只是构成整体的单位，与整体相似，并不简单等同与整体，整体的复杂性远远大于分形元。分形理论指出了分形元构成整体所遵循的原则和规律，是对系统论的一个重要补充。  

作为系统思维方式的整体性思维，最根本的特征是非加合性，它突破了传统分析方法的局限性而立足于综合地考察事物。它将研究的事物看作是一个整体，着眼于整体来分析其部分以及部分与部分、部分与整体之间的关系。而分形论通过对部分的认识来达到对整体的了解，它不是如形而上学思维方式那样将分析与综合分为截然不同的两个阶段的单向思维，而是把综合与反馈结合形成双向思维。  

从分析事物的角度看，分形论和系统论体现了从两个极端出发的思路。系统论从整体出发来确定各部分性质，从宏观到微观考察整体与部分之间的相关性，而分形论则是从部分出发来确立整体的性质，沿着从微观到宏观的方向考察部分与整体之间的相似性。系统论强调部分依赖于整体的性质，体现了从整体出发认识部分的方法；分形论则强调整体对部分的依赖性，体现了从部分出发认识整体的方法。  

但是，分形论与系统论并不是对立的两极。系统论的对立面是还原论。还原论认为，复杂事物整体经过适当的分解可以化为较简单的部分来研究，分形对象原则上不能这样处理。因为若不按分形元来划分对象，分形的基本特征自相似性就被破坏，那样划分出来的部分对于了解整体没有价值；若按分形元来分解对象，则每个部分都与整体相似，部分与整体意义复杂，完全起不到简化作用，分析方法失去了存在价值。研究分形需要用系统的观点和方法：系统中每个元素都反映和含有整个系统的性质和信息，即元素映现系统，这正是分形论的哲学基础。  

分形论的意义，不仅在于从整体与部分的信息“同构”中，打破了二者之间的隔膜，找到了部分过渡到整体的媒介和桥梁，而且使人们对整体与部分的关系的思维方法进展到非线性的阶段，并同系统论一起，共同揭示了整体与部分之间多侧面、多视角、多维度的联系方式，它是对宇宙普遍联系与内在统一的具体机制的一种揭示。同时它为人们从部分认知整体、从有限中认知无限提供了可能的依据。恩格斯曾把存在于自然、社会和思维中的普遍联系称之为“一幅由种种联系和相互作用无穷无尽交织起来的画面”，这种联系的普遍机制应当包括分形论。[3][3]  

                    分形是一种科学的简单性原则  

部分与整体的关系是一对古老的哲学范畴，也是分形理论的研究对象。把复杂事物分解为要素来研究是一条方法论原则──简单性原则。分形学作为一门复杂性科学，标志着还原论和简单性理想的结束，而非指作为科学方法论原则的逻辑简单性的终结。分形学宣布自己的任务就是探索复杂性。但这并不同时意味着分形规律也是复杂的。分形理论揭示了复杂现象深处古怪而精致的几何结构，确定了描述复杂性程度的定量参数──分维及其算法，重整化群提供了一次削去一层复杂性的技巧，从而“去精取粗”，以简驭繁；标度律和普适性原则的最简单的两个自然常数抓住了复杂演化背后的简单规律。分形学的进展表明对于传统科学来说过于复杂而显得纷繁无序的系统，仍然可能遵循简单的规律，而经典的简化方法对之望而生畏、束手无策的难题，运用新的综合的整体方法却可能删繁就简、迎刃而解。简单性和复杂性不存在截然分明、非此即彼的界限，关键在于新的观念、新的方法。  

分形在把问题简化时，并不陷入简单化，它不是把客观事物的复杂性和多样性简单地记录下来，而是把具有逐级近似程度的简化系统作为复杂系统的模型，提炼出本质的规定，因此它为探索自然界的复杂运动形式提供了科学的简单性方法论。  

简单性和复杂性在此获得了新的解释，并且已在高层次上达到了统一：  

一、简单性和复杂性是相对的、互相转化的。最简单的非线性系统未必有简单的动力学性质，而复杂现象之下未必不是简单的数学模型，复杂形态的规则可能是复杂的，也可能是简单的。诀窍在于：不管现象如何复杂，只要对象中隐含某种分形序，运用新的思想和方法便可以几条简单规律将其破译出。分形学从简单中发现了复杂，又从复杂中找到了简单，由简而繁，化繁为简，繁简相通，相辅相成。  

二、简单性和复杂性是互相生发、互为根源的。“简单性蕴育了复杂性”，而“无理性蕴育了有理性”。简单系统可以产生复杂行为，复杂系统亦可导致简单行为。通过反馈的放大效应，可以使一个简单系统爆发出不可预测的复杂性；系统演化的过程中，方向的随机性也可以产生惊人的复杂性，而整体形成的同时却又伴随着一定程度的简单性。因此，简单性和复杂性不仅互相包含，而且互为对方产生的条件。  

三、复杂性是长期演化的结果。复杂性不在于一次求解复杂方程，而在于千万次地重复简单计算，它启示了我们一条深刻的宇宙演化原理：尽管生命领域中复杂结构无处不在，但这并不一定意味着塑造实体原理的复杂性。与其说宇宙从一开始就是复杂的，或者说遗传基因确定了生命的全部复杂性，不如说宇宙和生命中包含着某种简单的公式，只是这公式作为反馈回路的无穷次迭代，才造就了今日世界如此绚丽多彩的万千气象。这不禁使人想起中国的围棋和周易，围棋的规则很简单，变化却很复杂；易经的道理很朴素，但其阴、阳爻的排列组合却可以无穷无尽、变幻莫测。  

大自然的设计，不但简单，而且是最大限度的简单，而这正是其全部复杂性展开的依据。当大自然开始以某种简单的公式组织自身，处处以无限的耐心重复着同样的法则时，复杂性就蕴涵其中了。随着自然界从低级到高级、从简单到复杂的进化，终于产生了人类，而随着人类和人类社会的进步，又产生了科学。“人法地，地法天，天法道，道法自然”，无论是其研究对象，亦或其内在发展逻辑，新科学都必须面临比以往科学更为复杂的问题，但科学之为科学，却恰恰能从复杂现象中找出简单规律，科学的定量化要求本质上便是一种简单性要求，数学和物理模型永远是对真实世界的不完全的简化近似。  

值得指出的是，科学史上，每一新理论创立之初，其基础──基本公理、假设往往是较简单的，日后则渐趋繁复臃肿，直至引发科学革命。因此，一种新的简化方法的发现比一种新的特定现象的发现，意义要大得多。分形之谓严格意义上的科学并成为20世纪最大的科学革命的标志之一，[4][4]恰在于它找到了经典科学无法简化的复杂现象的新的简化方法，发现了复杂性中蕴涵的简单规律。科学理论必须是简单的，而且越是在复杂的现象中正确地以简单的基本概念、基本规律为其核心和基础，就越是抓到了实质。分形，从探索复杂性开始，走向了复杂性和简单性的新的统一，其创造过程不断迸发着复杂性和简单性交汇相遇的火花。  

应该说，今天的数学不是越来越复杂，而是越来越抽象；今天的科学，也非越来越复杂，而是越来越广袤和深远。  

                         分形与整体论  

分形再现了一个古老的哲学思想：部分与整体尽管有所不同，但整体中每个要素都反映和含有整个系统的性质和信息，即要素映现系统，部分映现整体。不过分形学整体观并不是古代朴素整体论的复归。传统东方整体论虽然充满唯物辩证法的色彩，把世界看作是相互联系和变化发展的统一整体，却“不足以说明构成现象总画面的各个细节，只是把握它的一般性质”[5][5]，它是一种单元论整体论。  

本世纪40年代西方曾提出了现代科学整体观，它坚持二元论，其核心观点是“整体具有各个部分都不可能具有的质的规定性”，“任何一个部分都不能以任何形式完整地表现出整体”，整体的功能、属性只有通过总和各个部分的功能、属性才能完整地表现出来。  

分形学所体现的整体观与西方现代整体观不尽一致。具体说，西方整体观认为部分与整体之间虽然存在着特定的系统联系，但部分不可能以任何形式完整地表现主体，而分形整体观则认为整体与部分尽管有所不同，但整体的性质和信息可以通过部分以某种形式完整地表现出来。  

分形学整体观具有如下基本特征：  

一、其认知程序既可以是“始于合，中于分，终于合”，也可以是“始于分，中于合，终于分”[6][6]。它反对将任何一种认知程序固定化、模式化、教条化，而认为任何一种认知程序都不外乎是人类意识根据特定的实践认识水平设定、建构、创造出来的一种实践认识路线而已。  

二其基本内思维模式是超元论。这一思维模式既肯定了西方整体观关于“整体具有各个部分都不可能具有的质的规定性”的思想，又扬弃并超越了偏执于二元对立关系的二元论，认为不同认知对象及其部分，以及存在于它们之间的各种关系，都是以人类实践认识为基底和核心显现、构建出来的人化关系。因此这种整体论将不同认知对象及其部分之间的对立、差异与统一、同一关系看作具有平等的地位，在一定意义上，既可以说这些关系都是绝对的、本质性的，也可以说是相对的、表面性的；整体与部分“既为二又不二”，“虽有分而实不二”，“虽有合而实为二”，部分既能以某种形式完整地表现整体，又不能将部分完全等同于整体。  

三、肯定了东方整体观关于特定部分可以以某种形式表现整体的唯象科学思想，同时特别重视对整体与部分的统一、同一关系的实证分析和定量研究，具有严格的可重复性和可证伪性，注意不同数量级和不同复杂程度的结构，并把部分放置到总的框架中去观察，以此确定部分完整地表现整体的具体形式。  

此外，分形学还告诉我们整体在演化、发展过程中，不仅具有部分与部分、部分与整体所体现出的空间整体性，而且在时间上也呈现出整体演化、发展的趋势，发展的每一步都具有继承性和连续性，即任一现时状态，都是以过去发展状态为基础，同时又是未来系统演化状态的模板，是动态整体的一个链条和环节，这些不同的链条和环节相互关联、相互影响，刻画出事物演变的原因与机制，从而呈现自然界在发展中的时间整体特性。  

值得一提的是，分形并不能成为“宇宙全息统一论”的科学依据。如果利用分形学的成果全盘否定牛顿和爱因斯坦的自然观，重绘科学世界图景，断言“部分包含着整体的全部信息”，认为从一块石头或一片树叶可以掌握认识自然界的途径，从任一部分可以了解整体的全部结构、特性、行为，那就完全排除了标度性而走向另一极端。[7][7]事实上，现实世界不是单色彩的，既有整形，也有分形；既有标度性，又有无标度性；它是标度变换下的可变性与不变性的统一，自相似性与非自相似性的统一，惟其如此才造成客观世界的无限多样性和复杂性。在分形特性占支配地位时，人们看到的是典型的无标度性，自相似结构十分明显，因而产生了自相似自然观；在整形特性占支配地位时时，人们看到的是典型的标度性，自相似结构凭通常的眼力难以发现，因而产生了非自相似自然观。[8][8]两者都有合理性，又都有片面性。新的世界图景要把两方面融为一体，新的思维模式也应当是两种模式的融汇贯通，既要善于区分不同尺度，应用标度性概念推理，又要善于跨越一切尺度，应用无标度性概念分析[9][9]：标度性与无标度性、自相似性与非自相似性的存在是相对的、有条件的。临界现象没有特征尺度，意味着要考虑大小不同的各种尺度。自然界的分形在大小两端都存在一定的特征尺度限制，表明无标度性是以存在标度限制为前提的。[10][10]非自相似性结构中存在着某种自相似性，部分中包含整体的某些信息，但即使在自相似结构中，部分原则上不能包含整体的全部信息，表现出一定的非自相似性。一切自然界的分形都是不完全的自相似性。[11][11]  

分形只是部分与整体某种程度的自相似性。